ディガンマ関数
ディガンマ関数と自然数の累乗の逆数和との関係についてのメモ。
ディガンマ関数
ディガンマ関数とは、ガンマ関数 の対数微分
で定義される関数です。
ガンマ関数の無限乗積表示
ガンマ関数の無限乗積表示について復習します。
命題1 全ての に対して
が成り立つ.ここで はオイラーの定数
である.
この命題の証明は
にあります。
ディガンマ関数の性質1
命題1の両辺の対数微分をとると次が分かります:
定理1 に対して
が成り立つ.特に
である.
さらに、定理1の等式の両辺を繰り返し微分すると次も分かります:
定理2 を正整数とする. に対して
が成り立つ.特に
である.
このようにディガンマ関数の導関数の での値はゼータ値と関係しています。
次に での値を見ていきます。
ディガンマ関数の性質2
定理3 を正整数とする. に対して
が成り立つ.特に
である.
証明.ガンマ関数の関数等式 の両辺の対数微分をとると
が分かり, について辺々加えると第一の等式を得る.この等式において とおけば第二の等式を得る.証明終
また定理3の両辺を繰り返し微分することにより次も分かります:
定理4 を正整数とする. に対して
が成り立つ.特に
である.