Easy Exercise

勉強したこと、見つけたことのメモ。

ディガンマ関数

ディガンマ関数と自然数の累乗の逆数和との関係についてのメモ。

ディガンマ関数

ディガンマ関数とは、ガンマ関数 \Gamma(s) の対数微分

\displaystyle \psi(s) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\log(\Gamma(s)) = \frac{\Gamma'(s)}{\Gamma(s)}

で定義される関数\psi(s)です。

ガンマ関数の無限乗積表示

ガンマ関数の無限乗積表示について復習します。

命題1 全ての s\in\mathbb{C} に対して
\displaystyle \frac{1}{\Gamma(s)} = s e^{\gamma s} \prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{s}{n}\right)e^{-s/n}
が成り立つ.ここで \gammaオイラーの定数
\displaystyle \gamma = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log n\right)
である.

 

この命題の証明は

integers.hatenablog.com

にあります。

ディガンマ関数の性質1

命題1の両辺の対数微分をとると次が分かります:

定理1 s \neq 0,-1,-2,\ldots に対して
\displaystyle \psi(s) = -\gamma + \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+s} \right)
が成り立つ.特に
\psi(1) = -\gamma
である.

 

さらに、定理1の等式の両辺を繰り返し微分すると次も分かります:

定理2 kを正整数とする.s \neq 0,-1,-2,\ldots に対して
\displaystyle {\psi}^{(k)}(s) = {(-1)}^{k-1} k! \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+s)^{k+1}}
が成り立つ.特に
\displaystyle {\psi}^{(k)}(1) = {(-1)}^{k-1} k! \zeta(k+1)
である.

 

このようにディガンマ関数の導関数s=1 での値はゼータ値と関係しています。

次に s=2,3,4,\ldots での値を見ていきます。

ディガンマ関数の性質2

定理3 n を正整数とする.s \neq 0,-1,-2,\ldots に対して
\displaystyle \psi(s+n) = \psi(s) + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{s+k}
が成り立つ.特に
\displaystyle \psi(n+1) = -\gamma + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}
である.

 

証明.ガンマ関数の関数等式 \Gamma(z+1)=z\Gamma(z) の両辺の対数微分をとると

\displaystyle \psi(z+1) - \psi(z) = \frac{1}{z}

が分かり, z=s,s+1,\ldots,s+n-1 について辺々加えると第一の等式を得る.この等式において s=1 とおけば第二の等式を得る.証明終

また定理3の両辺を繰り返し微分することにより次も分かります:

定理4 n,k を正整数とする.s \neq 0,-1,-2,\ldots に対して
\displaystyle {\psi}^{(k)}(s+n) = {\psi}^{(k)}(s) + {(-1)}^{k} k! \sum_{m=0}^{n-1} \frac{1}{{(s+m)}^{k+1}}
が成り立つ.特に
\displaystyle {\psi}^{(k)}(n+1) = {(-1)}^{k} k! \left( -\zeta(k+1) + \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{{m}^{k+1}} \right)
である.