Hecke L 関数の岩澤-Tate 理論 (前編)

この記事はゼータ Advent Calendar 2019の4日目の記事です。

adventar.org

元々は一本の記事で書く予定でしたが、長くなりすぎてしまうため前編と後編に分けることにします。

この前編の記事では、岩澤-Tate 理論の解説の前提知識として、位相群上の調和解析の結果とアデール・イデールの定義と性質を準備します。

岩澤-Tate 理論のメインの解説は一週間後に後編の記事として投稿します。突然の予定変更で申し訳ありません。

はじめに
位相群上の調和解析
- Fourier 反転公式
- Poisson 和公式
アデールとイデール
参考文献

はじめに

私 Oddie は学生時代に Weil の Basic Number Theory のゼミをやっていたのですが、当時は内容の表面的な理解がやっとだったので、いずれテキストをもう一度読み直したいとしばらく思ってました。

そんな中、2019年10月19日（土）・20日（日）の２日間にわたって開催された数学イベント「マスパーティ」

mathparty.localinfo.jp

に参加した所、その企画の一つ「ロマンティック数学ナイトプライム＠ゼータ」においてたまたま岩澤-Tate のお話が出てきて、とても面白く講演を聴かせていただきました。

その後自分も何かアウトプットをしてみたい気持ちが湧いてきて、上のテキストの復習を兼ねて、記事をゼータ Advent Calendar に投稿することに決めました。

タイトルの Hecke $L$ 関数とは Hecke 指標に付随する $L$ 関数のことです。 Hecke 指標は Dirichlet 指標の拡張であり、Hecke $L$ 関数は Dirichlet $L$ 関数の拡張になっています。また、代数体に対して定義される Dedekind ゼータ関数は自明な Hecke 指標に付随する $L$ 関数となっています。

このような広いクラスの関数である Hecke $L$ 関数（の完備化）をある種の位相群 (イデール) 上の積分で表し、位相群上の調和解析の手法を用いて関数等式や解析接続などの性質を導くのが岩澤-Tate 理論の骨子です。

位相群上の調和解析

ここでは Fourier 解析を一般の局所コンパクトアーベル群上で行うことを考えます。

$G$ を局所コンパクトアーベル群とします。 $G$ から $\mathbb T = \{z\in\mathbb C||z|=1\}$ への連続準同型を $G$ の指標 (character) と呼びます。

$G$ の指標のなす群 $\widehat G$ を指標群といいます。開コンパクト位相を入れることで $G$ は局所コンパクトアーベル群となります。

$x\in G,\ \chi\in \widehat G$ に対して、 $\chi(x)\in\mathbb T$ を Pontryagin 双対性*1を考慮して $\langle x,\chi\rangle$ とペアリングの形に書きます。

Fourier 反転公式

$dx$ を $G$ の Haar 測度*2とし、 $f\in L^1(G)$ の Fourier 変換 (Fourier transform) $\widehat f$ を

\begin{split} \widehat f(\chi)=\int_G f(x)\overline{\langle x,\chi\rangle}dx \end{split}

で定義します。このとき $\widehat f\in C(\widehat G)$ です。

定理1 (Fourier 反転公式) $\widehat G$ の Haar 測度 $d\chi$ が存在して、 $f\in L^1(G)$ かつ $\widehat f\in L^1(\widehat G)$ ならば次が成り立つ。

\begin{split} f(x) = \int_{\widehat G}\widehat f(\chi)\langle x,\chi\rangle d\chi \end{split}

この $d\chi$ を $dx$ の双対測度 (dual measure) という。

同型 $G\cong \widehat G$ が存在すると仮定し、この同型によって $G$ と $\widehat G$ を同一視することを考えます。このとき $dx$ を適当な定数倍で置き換えると上の定理で $dx=d\chi$ とできます。この $dx$ を自己双対測度 (self-dual measure) といいます。

例2 $G=\mathbb R$ とします。 $y\in\mathbb R$ を指標 $\chi(x)=e^{2\pi\sqrt{-1}xy}$ に写すことで同型 $\mathbb R\cong\widehat{\mathbb R}$ が得られます。この同型による同一視の下、Fourier 変換は

\begin{split} \widehat f(y) = \int_{\mathbb R}f(x)e^{-2\pi\sqrt{-1}xy} dx \end{split}

であり、 Lebesgue 測度 $dx$ が自己双対測度です。定理1は通常の Fourier 反転公式になります。

Poisson 和公式

注意このパートはまだ私が理解できていない所があるため、間違いを含んでいる可能性があります。

$\Gamma$ を $G$ の離散部分群で $G/\Gamma$ がコンパクトとなるものとします。

\begin{split} \Gamma^\perp = \{\chi\in\widehat G|\langle x,\chi\rangle=1,\ x\in\Gamma\} \end{split}

を $\Gamma$ の零化部分群 (annihilataor) といいます。

命題3 $G/\Gamma$ の Haar 測度 $d\dot x$ が存在して以下が成り立つ。 $f \in C(G)\cap L^1(G)$ かつ級数 $\sum_{y\in\Gamma}f(x+y)$ は $x$ に関して広義一様に絶対収束すると仮定する。このとき

\begin{split} \int_{G/\Gamma}\left(\sum_{y\in\Gamma}f(x+y)\right)d\dot x = \int_{G}f(x)dx \end{split}

定理4 (Poisson 和公式) $dx$ を上の命題の $d\dot x$ が $\mathrm{vol} (G/\Gamma) = 1$ を満たすようにとっておく*3。 $f\in C(G)\cap L^1(G)$ は以下の二条件を満たすと仮定する：

級数 $\sum_{y\in\Gamma}f(x+y)$ が $x$ に関して広義一様に絶対収束する
級数 $\sum_{\chi\in\Gamma^\perp}\widehat f(\chi)$ が絶対収束する

このとき

\begin{split} \sum_{x\in\Gamma}f(x)=\sum_{\chi\in\Gamma^\perp}\widehat f(\chi) \end{split}

系5 $dx$ を定理4の条件を満たすものとする。同型 $G\cong\widehat G$ が存在すると仮定し、この同型によって $\Gamma\cong\Gamma^\perp$ とする。もし定理4の条件が $f$ と $\widehat f$ について成り立ち $\sum_{x\in\Gamma}f(x)\neq0$ ならば、 $dx$ は自己双対測度である。

証明ある $c\gt0$ によって $d\chi=cdx$ と書けます*4。Fourier 反転公式より

$\begin{split} f^{\wedge\wedge}(y) = \int_{G}\widehat f(x)\overline{\langle y,x\rangle}dx = c^{-1}\int_{\widehat G}\widehat f(\chi)\overline{\langle y,\chi\rangle}d\chi = c^{-1}f(-y) \end{split}$

となります。Poisson 和公式を $f$ と $\widehat f$ に用いて

\begin{split} \sum_{x\in\Gamma}f(x) = \sum_{\chi\in\Gamma^\perp}\widehat f(\chi) = c^{-1}\sum_{x\in\Gamma}f(x) \end{split}

を得るので $c=1$ です。証明終

例6 例2の状況を考えます。 $\Gamma=\mathbb Z$ とすると $\Gamma^\perp=\mathbb Z$ です。 $f$ を $\mathbb R$ 上の急減少関数*5とすると定理4の条件を満たし、

\begin{split} \sum_{x\in\mathbb Z}f(x) = \sum_{x\in\mathbb Z}\widehat f(x) \end{split}

が成り立ちます。これは通常の Poisson 和公式です。

アデールとイデール

大域体

有理数体 $\mathbb{Q}$ の有限次代数拡大を代数体 (number field) といい、これは代数的整数論における基本的な研究対象です。この代数体と類似した性質を持つ体として有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の1次元関数体、つまり有理関数体 $\mathbb{F}_q(T)$ の有限次拡大体、があります。

代数体は標数 $0$ で $\mathbb{F}_q$ 上の1次元関数体は標数正であるなど、見かけはかなり異なっている二種類の体ですが、代数的整数論においてはほとんど同様な議論ができる場合が多いです。

そこで、これらの体を総称して大域体 (global field) と呼びます。

局所体

離散的でない局所コンパクト位相体を局所体 (local field) といいます。局所体は位相体としての同型を除いて次のいずれかになります：

$p$ 進数体 $\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大体
有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の形式的冪級数環 $\mathbb{F}_q[[T$ ]] の商体 $\mathbb{F}_q( (T) )$
実数体 $\mathbb{R}$
複素数体 $\mathbb{C}$

1と2の局所体を非アルキメデス的 (non-archimedian)、3と4の局所体をアルキメデス的 (archimedian) といいます。

大域体の素点

大域体 $K$ に適当な距離 (絶対値) を入れて完備化し、位相的に扱いやすくすることを考えます。

定義7 体 $K$ に対して、以下の三条件を満たす写像 $|\cdot|:K\to[0,\infty)$ を $K$ の絶対値 (absolute value) という。

(i) $|x|=0\Leftrightarrow x=0$
(ii) $|xy|=|x||y|$
(iii) $|x+y|\leq|x|+|y|$

$|0|=0,\ |x|=1\ (x\neq0)$ で定義される絶対値 $|\cdot|$ を自明な絶対値という。二つの絶対値 $|\cdot|, \ |\cdot|'$ は、ある $r\gt0$ が存在して ${|\cdot|}^r=|\cdot|'$ となるとき、同値であるという。

大域体 $K$ に対して $K$ の非自明な絶対値の同値類を $K$ の素点 (place) といいます。

$v$ を $K$ の素点とするとき、 $v$ の代表元 $|\cdot|$ に関する $K$ の完備化を $K_v$ で表します ( $|\cdot|$ のとり方によらない) 。このとき $K_v$ は局所体となることが知られています。

$K_v$ がアルキメデス的のとき $v$ をアルキメデス的 (または無限素点)、そうでないとき非アルキメデス的 (または有限素点) といい、それぞれ $v\mid\infty$ 、 $v\nmid\infty$ で表します。

$K$ の全ての無限素点の集合を $P_\infty$ と書くことにします。 $P_\infty$ は常に有限集合で、 $K$ が標数正のときは空集合になります。

$K_v$ の加法群としての Haar 測度 $d_vx$ をとると、 $K_v$ の絶対値 $|\cdot|_v$ が

\begin{split} d_v(xy)=|x|_vdv(y) \end{split}

で定まります。 $K_v=\mathbb R$ のとき $|x|_v=|x|$ (通常の絶対値) 、 $K_v=\mathbb C$ のとき $|x|_v=|x|^2$ (通常の絶対値の二乗) となります。

$v$ が有限素点のとき $|\cdot|_v$ は定義7の条件(iii)より強い条件

\begin{split}|x+y|\leq\max(|x|,|y|) \end{split}

を満たします。

以下しばらくの間 $v$ を有限素点とします。

\begin{split} \mathcal O_v = \{x\in K_v||x|_v\leq1\} \end{split}

とおくとこれは $K_v$ のコンパクトな部分環で、

\begin{split} \{x\in K_v||x|_v\lt1\} \end{split}

を唯一の極大イデアルとする局所環となります。実はこの極大イデアルは単項生成となるのでその生成元 (の一つ) を $\pi_v$ と書き、 $K_v$ の素元といいます。剰余体 $\mathcal O_v/\pi_v\mathcal O_v$ の位数を $q_v$ と書きます。このとき \begin{split} |\pi_v|_v=q_v^{-1} \end{split} が成り立ちます。

例8 $K=\mathbb Q$ とします。 $\mathbb Q$ の無限素点は通常の絶対値 $|\cdot|_\infty=|\cdot|$ に対応するものだけです。この素点を $\infty$ で表します。 $v=\infty$ のとき、 $K_v=\mathbb R$ です。

$\mathbb Q$ の有限素点は素数に対応します。つまり $p$ を素数として $p$ 進絶対値 $|\cdot|_p$ に対応するものです。この素点を $p$ で表します。

$v=p$ とします。このとき $K_v=\mathbb Q_p$ で、 $\mathcal O_v$ は $p$ 進整数環 $\mathbb Z_p$ になります。また $\pi_v=p$ ととることができ、 $q_v=p$ となります。

アデール

大域体の全ての完備化の情報を集めてできたものがアデールです。しかし、単に全ての素点での完備化の直積 $\prod_v K_v$ を考えると、これは局所コンパクトになりません。

定義9 $K$ のアデール環 (adele ring) $\mathbb A_K$ を $\mathcal O_v$ についての $K_v$ の制限直積として定義する： \begin{split} \mathbb A_K = \prod_v' K_v \end{split} ここで右辺は $\prod_v K_v$ の元 $x=(x_v)_v$ で、有限個の素点 $v$ を除いて $x_v \in \mathcal O_v$ を満たすものの集合を表す。