この前のブログに書いたやつが "zeta polynomial" だった件

以前の記事

で $[m]_q^{(n)}$ という組合せ量を定義しました。これは有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の $n$ 次元ベクトル空間 $\mathbb{F}_q^n$ における部分空間の列

\begin{split} 0 = V_0 \subset V_1 \subset \cdots \subset V_m = \mathbb{F}_q^n \end{split}

の個数に等しいものでした。

この記事を書いてからしばらくして、たまたま読んでいた文献 [1] に載っていた zeta polynomial というやつがこれの一般化になっていることに気づきました！！

定義 $P$ を有限半順序集合とする． $P$ における長さ $n$ の multichain $x_0\leq x_1\leq\cdots\leq x_n$ の個数を $Z_P(n)$ とおき*1， $P$ の zeta polynomial という．

$Z_P(n)$ が $n$ の多項式であることは、等式

\begin{split} Z_P(n) = \sum_{k=0}^d b_k \binom{n}{k} \end{split}

からわかります。ここで $b_k$ は $P$ の長さ $k$ の chain $x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_k$ の個数で、 $d$ は $P$ の最大の chain の長さです。

$P$ として $\mathbb{F}_q^n$ の部分空間のなす半順序集合をとり、 $x_0=V_1,x_1=V_2,\cdots,x_{m-2}=V_{m-1}$ と対応させると、

\begin{split} [m]_q^{(n)} = Z_P(m-2) \end{split}

だったわけですね。

ちなみにこの zeta polynomial は、半順序集合の隣接代数（かなり雑に言えばグラフの隣接行列みたいなやつのなす代数）におけるゼータ関数というものと関係がありますが、Riemann ゼータ関数とかのゼータとは多分直接の関係はなさそうに思いました。

隣接代数のゼータ関数という名前の由来は、隣接代数のゼータ関数が隣接代数における Möbius 関数の逆元になっていることが、Riemann ゼータ関数の逆数は Möbius 関数の Dirichlet 級数であることに似ているのと大きく関係していそうに思います。

追記：隣接代数のゼータ関数の記事を書きました。

この中で zeta polynomial との関係についても解説しています。

[1] Richard P. Stanley, Enumerative combinatorics, vol.1 (pdf)

*1:[1] では $P$ における長さ $n-2$ の multichain $x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_{n-1}$ の個数としている．この定義は [2] によった．

Easy Exercise