Ohno-Zagier 関係式 - Easy Exercise

この記事は Zeta Advent Calendar 2020 - Adventar の20日目の記事です。

$\newcommand{\bk}{\boldsymbol{k}} \newcommand{\de}{\mathrm{dep}} \newcommand{\wt}{\mathrm{wt}} \newcommand{\ht}{\mathrm{ht}} \newcommand{\Li}{\mathrm{Li}}$ 正の整数の組をインデックス（index）と呼びます。インデックス $\bk = (k_1, k_2, \cdots, k_r)$ が $k_r \geq 2$ を満たすとき $\bk$ を許容インデックス（admissible index）と呼びます。

インデックス $\bk = (k_1, k_2, \cdots, k_r)$ に対しては、その深さ（depth）、重さ（weight）、高さ（height）がそれぞれ以下のように定義されます：

\begin{align} \de(\bk) &:= r, \\ \wt(k) &:= k_1+k_2+\cdots+k_r, \\ \ht(\bk) &:= \#\{1 \le i \le r~|~ k_i \ge 2\}. \end{align}

前回の記事 MZVとMZSVの和公式 - Easy Exercise では、許容インデックスの深さと重さを固定した MZV の和を求めました。

この等式の精密化の一つに、高さも固定して和を求めた Ohno-Zagier 関係式があります。

重さ $k$ 、深さ $r$ 、高さ $s$ のインデックスの集合を $I(k, r, s)$ とし、許容インデックスに対する同様の集合を $I_0(k, r, s)$ とおきます。

定理１（Ohno-Zagier 関係式 [OZ, Theorem 1]）\begin{align} &\sum_{k, n, s \ge 1} \left( \sum_{\bk \in I_0(k,r,s)} \zeta(\bk) \right) x^{k-r-s} y^{r-s} z^{s-1} \\ &= \cfrac{1}{xy - z} \left\{ 1 - \exp \left( \sum_{n=2}^\infty \cfrac{\zeta(n)}{n} \left( x^n + y^n -\alpha^n - \beta^n \right) \right) \right\}. \end{align}

ここで $\alpha, \beta$ は $\alpha + \beta = x + y, ~\alpha \beta = z$ を満たす．

この定理は $x,y,z$ の形式的冪級数の等式です。対応する項の係数を比較すると

\begin{split} \sum_{\bk \in I_0(k,r,s)} \zeta(\bk) =: X_0(k, r, s) \end{split}

は $\zeta(2), \zeta(3), \cdots$ の有理数係数多項式で書けることがわかります。

定理１の証明

多重ポリログ

定理１の左辺を

\begin{split} \Phi_0(x, y, z) = \sum_{k, n, s \ge 1} X_0(k, r, s) x^{k-r-s} y^{r-s} z^{s-1} \end{split}

とおき、 $\Phi_0(x, y,z)$ を求めます。そのために、MZV より扱いやすい多重ポリログ（multiple polylogarithm）を導入します。

許容的とは限らないインデックス $\bk = (k_1, k_2, \cdots, k_r)$ に対し、多重ポリログは、級数

\begin{split} \Li_\bk(t) = \sum_{0 \lt m_1 \lt m_2 \lt \cdots \lt m_r} \cfrac{t^{m_r}}{m_1^{k_1}m_2^{k_2}\cdots m_r^{k_r}} \end{split}

で定義されます。 $\Li_\bk(t)$ の定義級数は一般に $|t| \lt 1$ で絶対収束し、 $\bk$ が許容的ならば $t=1$ でも収束して $\Li_\bk(1) = \zeta(\bk)$ と MZV と一致することが見て取れます。便宜上空インデックス $\emptyset$ （長さ $0$ のインデックス）に対しては、 $\Li_\emptyset(t) = 1$ とします。ちなみに、空インデックスは深さと高さも $0$ とします。

この多重ポリログに対して、同様に和

\begin{split} X(k,r,s;t) = \sum_{\bk \in I(k,r,s)} \Li_\bk(t) \end{split}

および

\begin{split} X_0(k,r,s;t) = \sum_{\bk \in I_0(k,r,s)} \Li_\bk(t) \end{split}

を定め、それらの母関数を

\begin{split} \Phi = \Phi(x,y,z;t) = \sum_{k, n, s \ge 0} X(k,r,s;t) x^{k-r-s} y^{r-s} z^s \end{split}

および

\begin{split} \Phi_0 = \Phi_0(x,y,z;t) = \sum_{k, n, s \ge 1} X_0(k,r,s;t) x^{k-r-s} y^{r-s} z^{s-1} \end{split}

と定めます。

（ここで $\emptyset \in I(k,r,s) \setminus I_0(k,r,s)$ なので、 $\Phi$ の和は $k, n, s \ge 0$ をわたるのに対し、 $\Phi_0$ の和は $k, n, s \ge 1$ をわたっていることに注意してください。またそれに合わせて $z$ の冪をそれぞれ $s,s - 1$ と調整していることにも注意）

いま $\Phi_0(x,y,z;1) = \Phi_0(x,y,z)$ なので、 $\Phi_0 = \Phi_0(x,y,z;t)$ を求めて $t=1$ とすればよいことになります。

微分方程式の導出

[OZ] は $\Phi_0$ の満たす微分方程式を求め、それを解くことで $\Phi_0$ の表示を得るという巧妙な計算を行っています。

まず多重ポリログの微分を求めます。 $\bk = (k_1, \cdots, k_{r-1}, k_r)$ とします。 $k_r \ge 2$ のとき

\begin{align} \frac{d}{dt} \Li_\bk(t) &= \frac{d}{dt} \sum_{0 \lt m_1 \lt \cdots \lt m_{r-1} \lt m_r} \cfrac{t^{m_r}}{m_1^{k_1} \cdots m_{r-1}^{k_{r-1}} m_r^{k_r}} \\ &= \sum_{0 \lt m_1 \lt \cdots \lt m_{r-1} \lt m_r} \cfrac{t^{m_r - 1}}{m_1^{k_1} \cdots m_{r-1}^{k_{r-1}} m_r^{k_r - 1}} \\ &= \cfrac{1}{t} \Li_{(k_1, \cdots, k_{r-1}, k_r - 1)}(t). \end{align}

一方 $k_r = 1$ のとき

\begin{align} \frac{d}{dt} \Li_\bk(t) &= \frac{d}{dt} \sum_{0 \lt m_1 \lt \cdots \lt m_{r-1} \lt m_r} \cfrac{t^{m_r}}{m_1^{k_1} \cdots m_{r-1}^{k_{r-1}} m_r} \\ &= \sum_{0 \lt m_1 \lt \cdots \lt m_{r-1} \lt m_r} \cfrac{t^{m_r - 1}}{m_1^{k_1} \cdots m_{r-1}^{k_{r-1}}} \\ &= \sum_{d = 1}^\infty t^{d - 1} \sum_{0 \lt m_1 \lt \cdots \lt m_{r-1}} \cfrac{t^{m_{r - 1}}}{m_1^{k_1} \cdots m_{r-1}^{k_{r-1}}} \\ &= \cfrac{1}{1-t} \Li_{(k_1, \cdots, k_{r-1})}(t). \end{align}

ここで二行目から三行目の変形では $d=m_r - m_{r-1}$ とおいています。

以上より次が示されました：

命題２ \begin{split} \frac{d}{dt}\Li_{(k_1,\cdots,k_{r-1},k_r)}(t) = \begin{cases} \cfrac{1}{t} \Li_{(k_1,\cdots,k_{r-1},k_r-1)}(t), & k_r \ge 2, \\ \cfrac{1}{1-t} \Li_{(k_1,\cdots,k_{r-1})}(t), & k_r=1. \end{cases} \end{split}

命題３ \begin{align} & \cfrac{d}{dt} X_0(x, y, z; t) \\ &= \cfrac{1}{t} (X(k - 1, r, s - 1; t) - X_0(k - 1, r, s - 1; t) + X_0(k - 1, r, s; t)) \end{align}

\begin{split} \cfrac{d}{dt} (X(x, y, z; t) - X_0(x, y, z; t)) = \cfrac{1}{1 - t} X(k - 1, r - 1, s; t) \end{split}

証明命題２を使って計算する．

\begin{align} \cfrac{d}{dt} X_0(x, y, z; t) &= \cfrac{d}{dt} \left( \sum_{\bk \in I_0(k, r, s), ~k_r = 2} \Li_\bk(t) + \sum_{\bk \in I_0(k, r, s), ~k_r \gt 2} \Li_\bk(t) \right) \\ &= \cfrac{1}{t} \left( \sum_{\bk \in I(k - 1, r, s - 1), ~k_r = 1} \Li_\bk(t) + \sum_{\bk \in I_0(k - 1, r, s), ~k_r \ge 2} \Li_\bk(t) \right) \\ &= \cfrac{1}{t} \left( \sum_{\bk \in I(k - 1, r, s - 1) \setminus I_0(k - 1, r, s - 1)} \Li_\bk(t) + \sum_{\bk \in I_0(k - 1, r, s)} \Li_\bk(t) \right) \\ &= \cfrac{1}{t} (X(k - 1, r, s - 1; t) - X_0(k - 1, r, s - 1; t) + X_0(k - 1, r, s; t)). \end{align}

\begin{align} \cfrac{d}{dt} (X(x, y, z; t) - X_0(x, y, z; t)) &= \cfrac{d}{dt} \sum_{\bk \in I(k, r, s), ~k_r = 1} \Li_\bk(t) \\ &= \cfrac{1}{1 - t} \sum_{\bk \in I(k - 1, r - 1, s)} \Li_\bk(t) \\ &= \cfrac{1}{1 - t} X(k - 1, r - 1, s; t). \end{align}

証明終

命題４ \begin{split} \cfrac{d \Phi_0}{dt} = \cfrac{1}{yt} (\Phi - 1 - z \Phi_0) + \cfrac{x}{t} \Phi_0\end{split}

\begin{split} \cfrac{d}{dt} (\Phi - z \Phi_0) = \cfrac{y}{1 - t} \Phi \end{split}

証明命題３を使う．

\begin{align} \cfrac{d \Phi_0}{dt} &= \sum_{k, r, s \ge 1} \left( \cfrac{d}{dt} X_0(x, y, z; t) \right) x^{k - r - s} y^{r - s} z^{s - 1} \\ &= \cfrac{1}{t} \sum_{k, r, s \ge 1} (X(k - 1, r, s - 1; t) - X_0(k - 1, r, s - 1; t) + X_0(k - 1, r, s; t)) \\ &\times x^{k - r - s} y^{r - s} z^{s - 1} \\ &= \cfrac{1}{yt} \left( \sum_{k, r, s \ge 1} X(k - 1, r, s - 1; t) x^{(k - 1) - r - (s - 1)} y^{r - (s - 1)} z^{s - 1} \right. \\ &\left. + z \sum_{k, r, s \ge 1} X_0(k - 1, r, s - 1; t) x^{(k - 1) - r - (s - 1)} y^{r - (s - 1)} z^{s - 1} \right) \\ &+ \cfrac{x}{t} \sum_{k, r, s \ge 1} X_0(k - 1, r, s; t) x^{(k - 1) - r - s} y^{r - s} z^{s - 1} \\ &= \cfrac{1}{yt} \left( \sum_{k, r, s \ge 0} X(k, r, s; t) x^{k - r - s } y^{r - s} z^s - 1 + z \sum_{k, r, s \ge 1} X_0(k, r, s; t) x^{k - r - s} y^{r - s} z^{s - 1} \right) \\ &+ \cfrac{x}{t} \sum_{k, r, s \ge 1} X_0(k, r, s; t) x^{k - r - s} y^{r - s} z^{s - 1} \\ &= \cfrac{1}{yt} (\Phi - 1 - z \Phi_0) + \cfrac{x}{t} \Phi_0 \end{align}

\begin{align} \cfrac{d}{dt} (\Phi - z \Phi_0) &= \sum_{k, r, s \ge 0} \cfrac{d}{dt} (X(x, y, z; t) - X_0(x, y, z; t)) x^{k - r - s} y^{r - s} z^s \\ &= \cfrac{1}{1 - t} \sum_{k, r, s \ge 0} X(k - 1, r - 1, s; t) x^{k - r - s} y^{r - s} z^s \\ &= \cfrac{y}{1 - t} \sum_{k, r, s \ge 0} X(k - 1, r - 1, s; t) x^{(k - 1) - (r - 1) - s} y^{(r - 1) - s} z^s \\ &= \cfrac{y}{1 - t} \sum_{k, r, s \ge 0} X(k, r, s; t) x^{k - r - s} y^{r - s} z^s \\ &= \cfrac{y}{1 - t} \Phi \end{align}

証明終

更に $\frac{d^2 \Phi_0}{dt^2}$ を計算すると

\begin{align} \cfrac{d^2 \Phi_0}{dt^2} &= \cfrac{d}{dt} \left\{ \cfrac{1}{yt} (\Phi - 1 - z \Phi_0) + \cfrac{x}{t} \Phi_0 \right\} \\ &= - \cfrac{1}{yt^2} (\Phi - 1 - z \Phi_0) + \cfrac{1}{yt} \cfrac{d}{dt} (\Phi - z \Phi_0) - \cfrac{x}{t^2} \Phi_0 + \cfrac{x}{t} \cfrac{d \Phi_0}{dt} \\ &= - \cfrac{1}{yt^2} (\Phi - 1 - z \Phi_0) + \cfrac{1}{yt} \cfrac{y}{1 - t} \Phi - \cfrac{x}{t^2} \Phi_0 + \cfrac{x}{t} \left\{ \cfrac{1}{yt} (\Phi - 1 - z \Phi_0) + \cfrac{x}{t} \Phi_0 \right\} \\ &= - \cfrac{(1 - x)(1 - t) - yt}{yt^2(1 - t)} \Phi - \cfrac{(1 - x)(xy - z)}{yt^2} \Phi_0 + \cfrac{1 - x}{yt^2} \end{align}

となります。

ここまでの準備のもと、次が成り立ちます：

定理５ 形式的冪級数 $\Phi_0$ は，二階線型微分方程式

\begin{split} t (1-t) \cfrac{d^2 \Phi_0}{dt^2} + \{(1 - x)(1 - t) - yt\} \frac{d \Phi_0}{dt} + (xy - z) \Phi_0 = 1 \end{split}

の解である．

この定理は上の $\frac{d^2 \Phi_0}{dt^2}$ と $\frac{d \Phi_0}{dt}$ の計算結果を代入すればすぐ確かめられます。

超幾何微分方程式と超幾何関数

定理５の微分方程式は、 $\Phi_0 = \cfrac{1}{xy - z} (1 - f)$ とおくことで右辺が $0$ の形に帰着できます：

\begin{split} t (1-t) \cfrac{d^2 f}{dt^2} + \{(1 - x)(1 - t) - yt\} \frac{df}{dt} + (xy - z) f = 0 \end{split}

ここで突然ですが、 $\alpha, \beta$ を $\alpha + \beta = x + y, ~\alpha \beta = z$ で定め、この微分方程式を

\begin{split} t (1-t) \cfrac{d^2 f}{dt^2} + \left[ (1 - x) - \{ 1 + (\alpha - x) + (\beta - x) \} t \right] \frac{df}{dt} - (\alpha - x)(\beta - x) f = 0 \end{split}

と書き直せば、これはよく知られた超幾何微分方程式（hypergeometric differential equation）

$t (1-t) \cfrac{d^2 u}{dt^2} + \{c - (1 + a + b)t\} \cfrac{du}{dt} - ab u = 0 \tag{1}$

と同じ形になっています（ $a = \alpha - x, b = \beta - x, c = 1 - x$ とおけば一致します）。

超幾何微分方程式の解は超幾何関数（hypergeometric function）

\begin{split} F \left( \begin{matrix} a, b \\ c \end{matrix} ; t \right) = \sum_{n = 0}^\infty \cfrac{(a)_n (b)_n}{(c)_n n!} t^n \end{split}

（ $c$ が $0$ 以下の整数でないとき、右辺の級数は $|t| \lt 1$ で一様に絶対収束）を用いて書けることが知られています。

定理６ $c \notin \mathbb{Z}$ ならば，超幾何微分方程式 (1) の領域 $\{t \in \mathbb{C} ~|~ |t| \lt 1 \}$ における線形独立な解として

\begin{split} F \left( \begin{matrix} a, b \\ c \end{matrix} ; t \right), \qquad t^{1 - c} F \left( \begin{matrix} a - c + 1, b - c + 1 \\ 2 - c \end{matrix} ; t \right) \end{split}

が取れる．

上の二解のうち、後者は $1 - c ~( = x) \lt 0$ のとき $t = 0$ で極を持ちます。一方 $f$ は $t = 0$ で極を持たないので、 $f(t) = C F \left( \begin{matrix} \alpha - x, \beta - x \\ 1 - x \end{matrix} ; t \right)$ （ $C$ は定数）でなくてはなりません。

$\Phi_0(0) = 0$ より $f(0) = 1$ であり、また $F \left( \begin{matrix} a, b \\ c \end{matrix} ; 0 \right) = 1$ なので $C = 1$ 、すなわち次を得ました：

定理７ \begin{split} \Phi_0(t) = \cfrac{1}{xy - z} \left( 1 - F \left( \begin{matrix} \alpha - x, \beta - x \\ 1 - x \end{matrix} ; t \right) \right) \end{split}

最後に Gauss の超幾何定理

\begin{split} F \left( \begin{matrix} a, b \\ c \end{matrix} ; 1 \right) = \cfrac{\Gamma(c) \Gamma(c - a - b)}{\Gamma(c - a) \Gamma(c - b)} \end{split}

と、 $\Gamma(1 - x) = \exp(\gamma x + \sum_{n \ge 2} \zeta(n) x^n / n)$ を用いて

\begin{align} \Phi_0(1) &= \cfrac{1}{xy - z} \left( 1 - F \left( \begin{matrix} \alpha - x, \beta - x \\ 1 - x \end{matrix} ; 1 \right) \right) \\ &= \cfrac{1}{xy - z} \left( 1 - \cfrac{\Gamma(1 - x) \Gamma(1 - y)}{\Gamma(1 - \alpha) \Gamma(1 - \beta)} \right) \\ &= \cfrac{1}{xy - z} \left\{ 1 - \exp \left( \sum_{n = 2}^\infty \cfrac{\zeta(n)}{n} \left( x^n + y^n - \alpha^n - \beta^n \right) \right) \right\} \end{align}

と、定理１の証明が完了しました。

別証明

Ohno-Zagier 関係式は Zhong-hua Li によって代数的な証明が得られているようです（[L]）。詳細をフォローする余裕があったら、いずれブログに書くかもです。

参考文献

[L] Zhong-hua Li, Regularized double shuffle and Ohno–Zagier relations of multiple zeta values - ScienceDirect, Journal of Number Theory 133.2 (2013): 596-610.

[OZ] Yasuo Ohno and Don Zagier, Multiple zeta values of fixed weight, depth, and height, Indagationes Mathematicae 12.4 (2001): 483-487.

超幾何方程式とその解については、名古屋大学で行われた講義の資料 2017年度前期数学演習IX,X を参考にしました。