Sakugawa-Seki の恒等式

Euler によって初めて示されたとされる、調和数 に関する次のような等式が知られています。

\begin{split} \sum_{k=1}^n (-1)^{k - 1} \binom{n}{k} \cfrac{1}{k} = H_n. \end{split}

この等式は Hoffman によって多重調和和に関する等式に拡張された後、更に Sakugawa-Seki により*1多変数付きのものへと拡張されました。

この Sakugawa-Seki の恒等式について、多重ゼータ値の双対性の証明と同様な、積分表示における変数変換を用いた証明について書きました。

Sakugawa_Seki_s_identity.pdf - Google ドライブ

誤植やミスなどありましたら、ブログのコメント欄やTwitterなどで指摘お願いします。

*1:関さん本人からの情報によると、Kawashima-Tanaka の方が先に発見・証明していたそうです（ただし未出版の模様）。