Sakugawa-Seki の恒等式

Euler によって初めて示されたとされる、調和数 に関する次のような等式が知られています。

\begin{split} \sum_{k=1}^n (-1)^{k - 1} \binom{n}{k} \cfrac{1}{k} = H_n. \end{split}

この等式は Hoffman によって多重調和和に関する等式に拡張された後、更に Sakugawa-Seki により*1多変数付きのものへと拡張されました。

この Sakugawa-Seki の恒等式について、多重ゼータ値の双対性の証明と同様な、積分表示における変数変換を用いた証明について書きました。

Sakugawa_Seki_s_identity.pdf - Google ドライブ

誤植やミスなどありましたら、ブログのコメント欄やTwitterなどで指摘お願いします。

*1:関さん本人からの情報によると、Kawashima-Tanaka の方が先に発見・証明していたそうです（ただし未出版の模様）。

Ohno-Zagier 関係式

この記事は Zeta Advent Calendar 2020 - Adventar の20日目の記事です。

正の整数の組をインデックス（index）と呼びます。インデックス が を満たすとき を許容インデックス（admissible index）と呼びます。

インデックス に対しては、その深さ（depth）、重さ（weight）、高さ（height）がそれぞれ以下のように定義されます：

\begin{align} \de(\bk) &:= r, \\ \wt(k) &:= k_1+k_2+\cdots+k_r, \\ \ht(\bk) &:= \#\{1 \le i \le r~|~ k_i \ge 2\}. \end{align}

前回の記事 MZVとMZSVの和公式 - Easy Exercise では、許容インデックスの深さと重さを固定した MZV の和を求めました。

この等式の精密化の一つに、高さも固定して和を求めた Ohno-Zagier 関係式があります。

重さ 、深さ 、高さ のインデックスの集合を とし、許容インデックスに対する同様の集合を とおきます。

定理１（Ohno-Zagier 関係式 [OZ, Theorem 1]）\begin{align} &\sum_{k, n, s \ge 1} \left( \sum_{\bk \in I_0(k,r,s)} \zeta(\bk) \right) x^{k-r-s} y^{r-s} z^{s-1} \\ &= \cfrac{1}{xy - z} \left\{ 1 - \exp \left( \sum_{n=2}^\infty \cfrac{\zeta(n)}{n} \left( x^n + y^n -\alpha^n - \beta^n \right) \right) \right\}. \end{align}

ここで は を満たす．

この定理は の形式的冪級数の等式です。対応する項の係数を比較すると

\begin{split} \sum_{\bk \in I_0(k,r,s)} \zeta(\bk) =: X_0(k, r, s) \end{split}

は の有理数係数多項式で書けることがわかります。

定理１の証明

多重ポリログ

定理１の左辺を

\begin{split} \Phi_0(x, y, z) = \sum_{k, n, s \ge 1} X_0(k, r, s) x^{k-r-s} y^{r-s} z^{s-1} \end{split}

とおき、 を求めます。そのために、MZV より扱いやすい多重ポリログ（multiple polylogarithm）を導入します。

許容的とは限らないインデックス に対し、多重ポリログは、級数

\begin{split} \Li_\bk(t) = \sum_{0 \lt m_1 \lt m_2 \lt \cdots \lt m_r} \cfrac{t^{m_r}}{m_1^{k_1}m_2^{k_2}\cdots m_r^{k_r}} \end{split}

で定義されます。 の定義級数は一般に で絶対収束し、 が許容的ならば でも収束して と MZV と一致することが見て取れます。便宜上空インデックス （長さ のインデックス）に対しては、 とします。ちなみに、空インデックスは深さと高さも とします。

この多重ポリログに対して、同様に和

\begin{split} X(k,r,s;t) = \sum_{\bk \in I(k,r,s)} \Li_\bk(t) \end{split}

および

\begin{split} X_0(k,r,s;t) = \sum_{\bk \in I_0(k,r,s)} \Li_\bk(t) \end{split}

を定め、それらの母関数を

\begin{split} \Phi = \Phi(x,y,z;t) = \sum_{k, n, s \ge 0} X(k,r,s;t) x^{k-r-s} y^{r-s} z^s \end{split}

および

\begin{split} \Phi_0 = \Phi_0(x,y,z;t) = \sum_{k, n, s \ge 1} X_0(k,r,s;t) x^{k-r-s} y^{r-s} z^{s-1} \end{split}

と定めます。

（ここで なので、 の和は をわたるのに対し、 の和は をわたっていることに注意してください。またそれに合わせて の冪をそれぞれ と調整していることにも注意）

いま なので、 を求めて とすればよいことになります。

微分方程式の導出

[OZ] は の満たす微分方程式を求め、それを解くことで の表示を得るという巧妙な計算を行っています。

まず多重ポリログの微分を求めます。 とします。 のとき

\begin{align} \frac{d}{dt} \Li_\bk(t) &= \frac{d}{dt} \sum_{0 \lt m_1 \lt \cdots \lt m_{r-1} \lt m_r} \cfrac{t^{m_r}}{m_1^{k_1} \cdots m_{r-1}^{k_{r-1}} m_r^{k_r}} \\ &= \sum_{0 \lt m_1 \lt \cdots \lt m_{r-1} \lt m_r} \cfrac{t^{m_r - 1}}{m_1^{k_1} \cdots m_{r-1}^{k_{r-1}} m_r^{k_r - 1}} \\ &= \cfrac{1}{t} \Li_{(k_1, \cdots, k_{r-1}, k_r - 1)}(t). \end{align}

一方 のとき

\begin{align} \frac{d}{dt} \Li_\bk(t) &= \frac{d}{dt} \sum_{0 \lt m_1 \lt \cdots \lt m_{r-1} \lt m_r} \cfrac{t^{m_r}}{m_1^{k_1} \cdots m_{r-1}^{k_{r-1}} m_r} \\ &= \sum_{0 \lt m_1 \lt \cdots \lt m_{r-1} \lt m_r} \cfrac{t^{m_r - 1}}{m_1^{k_1} \cdots m_{r-1}^{k_{r-1}}} \\ &= \sum_{d = 1}^\infty t^{d - 1} \sum_{0 \lt m_1 \lt \cdots \lt m_{r-1}} \cfrac{t^{m_{r - 1}}}{m_1^{k_1} \cdots m_{r-1}^{k_{r-1}}} \\ &= \cfrac{1}{1-t} \Li_{(k_1, \cdots, k_{r-1})}(t). \end{align}

ここで二行目から三行目の変形では とおいています。

以上より次が示されました：

命題２ \begin{split} \frac{d}{dt}\Li_{(k_1,\cdots,k_{r-1},k_r)}(t) = \begin{cases} \cfrac{1}{t} \Li_{(k_1,\cdots,k_{r-1},k_r-1)}(t), & k_r \ge 2, \\ \cfrac{1}{1-t} \Li_{(k_1,\cdots,k_{r-1})}(t), & k_r=1. \end{cases} \end{split}

命題３ \begin{align} & \cfrac{d}{dt} X_0(x, y, z; t) \\ &= \cfrac{1}{t} (X(k - 1, r, s - 1; t) - X_0(k - 1, r, s - 1; t) + X_0(k - 1, r, s; t)) \end{align}

\begin{split} \cfrac{d}{dt} (X(x, y, z; t) - X_0(x, y, z; t)) = \cfrac{1}{1 - t} X(k - 1, r - 1, s; t) \end{split}

証明 命題２を使って計算する．

\begin{align} \cfrac{d}{dt} X_0(x, y, z; t) &= \cfrac{d}{dt} \left( \sum_{\bk \in I_0(k, r, s), ~k_r = 2} \Li_\bk(t) + \sum_{\bk \in I_0(k, r, s), ~k_r \gt 2} \Li_\bk(t) \right) \\ &= \cfrac{1}{t} \left( \sum_{\bk \in I(k - 1, r, s - 1), ~k_r = 1} \Li_\bk(t) + \sum_{\bk \in I_0(k - 1, r, s), ~k_r \ge 2} \Li_\bk(t) \right) \\ &= \cfrac{1}{t} \left( \sum_{\bk \in I(k - 1, r, s - 1) \setminus I_0(k - 1, r, s - 1)} \Li_\bk(t) + \sum_{\bk \in I_0(k - 1, r, s)} \Li_\bk(t) \right) \\ &= \cfrac{1}{t} (X(k - 1, r, s - 1; t) - X_0(k - 1, r, s - 1; t) + X_0(k - 1, r, s; t)). \end{align}

\begin{align} \cfrac{d}{dt} (X(x, y, z; t) - X_0(x, y, z; t)) &= \cfrac{d}{dt} \sum_{\bk \in I(k, r, s), ~k_r = 1} \Li_\bk(t)  \\ &=  \cfrac{1}{1 - t} \sum_{\bk \in I(k - 1, r - 1, s)} \Li_\bk(t) \\ &= \cfrac{1}{1 - t} X(k - 1, r - 1, s; t). \end{align}

証明終

命題４ \begin{split} \cfrac{d \Phi_0}{dt} = \cfrac{1}{yt} (\Phi - 1 - z \Phi_0) + \cfrac{x}{t} \Phi_0\end{split}

\begin{split} \cfrac{d}{dt} (\Phi - z \Phi_0) = \cfrac{y}{1 - t} \Phi \end{split}

証明 命題３を使う．

\begin{align} \cfrac{d \Phi_0}{dt} &= \sum_{k, r, s \ge 1} \left( \cfrac{d}{dt} X_0(x, y, z; t) \right) x^{k - r - s} y^{r - s} z^{s - 1} \\ &= \cfrac{1}{t} \sum_{k, r, s \ge 1} (X(k - 1, r, s - 1; t) - X_0(k - 1, r, s - 1; t) + X_0(k - 1, r, s; t)) \\ &\times x^{k - r - s} y^{r - s} z^{s - 1} \\ &= \cfrac{1}{yt} \left( \sum_{k, r, s \ge 1} X(k - 1, r, s - 1; t) x^{(k - 1) - r - (s - 1)} y^{r - (s - 1)} z^{s - 1} \right. \\ &\left. + z \sum_{k, r, s \ge 1} X_0(k - 1, r, s - 1; t) x^{(k - 1) - r - (s - 1)} y^{r - (s - 1)} z^{s - 1} \right) \\ &+ \cfrac{x}{t} \sum_{k, r, s \ge 1} X_0(k - 1, r, s; t) x^{(k - 1) - r - s} y^{r - s} z^{s - 1} \\ &= \cfrac{1}{yt} \left( \sum_{k, r, s \ge 0} X(k, r, s; t) x^{k - r - s } y^{r - s} z^s - 1 + z \sum_{k, r, s \ge 1} X_0(k, r, s; t) x^{k - r - s} y^{r - s} z^{s - 1} \right) \\ &+ \cfrac{x}{t} \sum_{k, r, s \ge 1} X_0(k, r, s; t) x^{k - r - s} y^{r - s} z^{s - 1} \\ &= \cfrac{1}{yt} (\Phi - 1 - z \Phi_0) + \cfrac{x}{t} \Phi_0 \end{align}

\begin{align} \cfrac{d}{dt} (\Phi - z \Phi_0) &= \sum_{k, r, s \ge 0} \cfrac{d}{dt} (X(x, y, z; t) - X_0(x, y, z; t)) x^{k - r - s} y^{r - s} z^s \\ &= \cfrac{1}{1 - t} \sum_{k, r, s \ge 0} X(k - 1, r - 1, s; t) x^{k - r - s} y^{r - s} z^s \\ &= \cfrac{y}{1 - t} \sum_{k, r, s \ge 0} X(k - 1, r - 1, s; t) x^{(k - 1) - (r - 1) - s} y^{(r - 1) - s} z^s \\ &= \cfrac{y}{1 - t} \sum_{k, r, s \ge 0} X(k, r, s; t) x^{k - r - s} y^{r - s} z^s \\ &= \cfrac{y}{1 - t} \Phi \end{align}

証明終

更に を計算すると

\begin{align} \cfrac{d^2 \Phi_0}{dt^2} &= \cfrac{d}{dt} \left\{ \cfrac{1}{yt} (\Phi - 1 - z \Phi_0) + \cfrac{x}{t} \Phi_0 \right\} \\ &= - \cfrac{1}{yt^2} (\Phi - 1 - z \Phi_0) + \cfrac{1}{yt} \cfrac{d}{dt} (\Phi - z \Phi_0) - \cfrac{x}{t^2} \Phi_0 + \cfrac{x}{t} \cfrac{d \Phi_0}{dt} \\ &= - \cfrac{1}{yt^2} (\Phi - 1 - z \Phi_0) + \cfrac{1}{yt} \cfrac{y}{1 - t} \Phi - \cfrac{x}{t^2} \Phi_0 + \cfrac{x}{t} \left\{ \cfrac{1}{yt} (\Phi - 1 - z \Phi_0) + \cfrac{x}{t} \Phi_0 \right\} \\ &= - \cfrac{(1 - x)(1 - t) - yt}{yt^2(1 - t)} \Phi - \cfrac{(1 - x)(xy - z)}{yt^2} \Phi_0 + \cfrac{1 - x}{yt^2} \end{align}

となります。

ここまでの準備のもと、次が成り立ちます：

定理５ 形式的冪級数 は，二階線型微分方程式

\begin{split} t (1-t) \cfrac{d^2 \Phi_0}{dt^2} + \{(1 - x)(1 - t) - yt\} \frac{d \Phi_0}{dt} + (xy - z) \Phi_0 = 1 \end{split}

の解である．

この定理は上の と の計算結果を代入すればすぐ確かめられます。

超幾何微分方程式と超幾何関数

定理５の微分方程式は、 とおくことで右辺が の形に帰着できます：

\begin{split} t (1-t) \cfrac{d^2 f}{dt^2} + \{(1 - x)(1 - t) - yt\} \frac{df}{dt} + (xy - z) f = 0 \end{split}

ここで突然ですが、 を で定め、この微分方程式を

\begin{split} t (1-t) \cfrac{d^2 f}{dt^2} + \left[ (1 - x) - \{ 1 + (\alpha - x) + (\beta - x) \} t \right] \frac{df}{dt} - (\alpha - x)(\beta - x) f = 0 \end{split}

と書き直せば、これはよく知られた超幾何微分方程式（hypergeometric differential equation）

と同じ形になっています（ とおけば一致します）。

超幾何微分方程式の解は超幾何関数（hypergeometric function）

\begin{split} F \left( \begin{matrix} a, b \\ c \end{matrix} ; t \right) = \sum_{n = 0}^\infty \cfrac{(a)_n (b)_n}{(c)_n n!} t^n \end{split}

（ が 以下の整数でないとき、右辺の級数は で一様に絶対収束）を用いて書けることが知られています。

定理６ ならば，超幾何微分方程式 (1) の領域 における線形独立な解として

\begin{split} F \left( \begin{matrix} a, b \\ c \end{matrix} ; t \right), \qquad t^{1 - c} F \left( \begin{matrix} a - c + 1, b - c + 1 \\ 2 - c \end{matrix} ; t \right) \end{split}

が取れる．

上の二解のうち、後者は のとき で極を持ちます。一方 は で極を持たないので、（ は定数）でなくてはなりません。

より であり、また なので 、すなわち次を得ました：

定理７ \begin{split} \Phi_0(t) = \cfrac{1}{xy - z} \left( 1 - F \left( \begin{matrix} \alpha - x, \beta - x \\ 1 - x \end{matrix} ; t \right) \right) \end{split}

最後に Gauss の超幾何定理

\begin{split} F \left( \begin{matrix} a, b \\ c \end{matrix} ; 1 \right) = \cfrac{\Gamma(c) \Gamma(c - a - b)}{\Gamma(c - a) \Gamma(c - b)} \end{split}

と、 を用いて

\begin{align} \Phi_0(1) &= \cfrac{1}{xy - z} \left( 1 - F \left( \begin{matrix} \alpha - x, \beta - x \\ 1 - x \end{matrix} ; 1 \right) \right) \\ &= \cfrac{1}{xy - z} \left( 1 - \cfrac{\Gamma(1 - x) \Gamma(1 - y)}{\Gamma(1 - \alpha) \Gamma(1 - \beta)} \right) \\ &= \cfrac{1}{xy - z} \left\{ 1 - \exp \left( \sum_{n = 2}^\infty \cfrac{\zeta(n)}{n} \left( x^n + y^n - \alpha^n - \beta^n \right) \right) \right\} \end{align}

と、定理１の証明が完了しました。

別証明

Ohno-Zagier 関係式は Zhong-hua Li によって代数的な証明が得られているようです（[L]）。詳細をフォローする余裕があったら、いずれブログに書くかもです。

参考文献

[L] Zhong-hua Li, Regularized double shuffle and Ohno–Zagier relations of multiple zeta values - ScienceDirect, Journal of Number Theory 133.2 (2013): 596-610.

[OZ] Yasuo Ohno and Don Zagier, Multiple zeta values of fixed weight, depth, and height, Indagationes Mathematicae 12.4 (2001): 483-487.

超幾何方程式とその解については、名古屋大学で行われた講義の資料 2017年度前期 数学演習IX,X を参考にしました。

MZVとMZSVの和公式

この記事は

adventar.orgの13日目の記事です。

多重ゼータ値（multiple zeta value, MZV）とは、整数 に対し

\begin{split} \zeta(k_1, k_2, \cdots, k_r) := \sum_{0 \lt m_1 \lt m_2 \lt \cdots \lt m_r} \cfrac{1}{m_1^{k_1} m_2^{k_2} \cdots m_r^{k_r}} \end{split}

で定義される多重和です。条件 のおかげでこの級数はきちんと収束してくれます。MZV の定義において とすると \begin{split} \zeta(k_1) = \sum_{m = 1}^\infty \cfrac{1}{m^{k_1}} \end{split}

となりますが、これは Riemann ゼータ関数の特殊値にほかなりません。

つまり多重ゼータ値は Riemann ゼータ関数の変数を多重化したものの特殊値ということです。

MZV と類似した多重和に多重ゼータスター値（multiple zeta-star value, MZSV）があります：整数 に対し

\begin{split} \zeta^\star (k_1, k_2, \cdots, k_r) := \sum_{0 \lt m_1 \le m_2 \le \cdots \le m_r} \cfrac{1}{m_1^{k_1} m_2^{k_2} \cdots m_r^{k_r}}. \end{split}

見ての通り、MZSV は MZV の多重和に等号が付いたバージョンです。MZSV において とすると再び Riemann ゼータ関数の特殊値になります。

MZV（MZSV）は興味深い等式が数多く発見されており、今なお活発な研究が進んでいる対象です。詳しくは以下の記事を挙げます。

ja.wikipedia.org

math.jp

本記事では MZV（MZSV）の等式の中でも最も基本的かつ美しい等式の一つである和公式と呼ばれる等式を紹介します：

定理１（MZVの和公式） に対し

\begin{split} \sum_{\substack{k_1 + k_2 + \cdots + k_r = k \\ \forall i, ~ k_i \ge 1, ~ k_r \ge 2}} \zeta(k_1, k_2, \cdots, k_r) = \zeta(k). \end{split}

まずはこの等式の意味を丁寧に説明しましょう。

左辺は、MZVを定義できる整数 であってその和が であるものを全てわたる MZV の和（ただし は固定していることに注意）になっています。これが Riemann ゼータ関数の での値というとてもシンプルな値で書けるというのが和公式の主張です。

一方MZSVも類似の公式を満たすことが知られています。

定理２（MZSVの和公式） に対し

\begin{split} \sum_{\substack{k_1 + k_2 + \cdots + k_r = k \\ \forall i, ~ k_i \ge 1, ~ k_r \ge 2}} \zeta^\star (k_1, k_2, \cdots, k_r) = \binom{r-1}{k - 1} \zeta(k). \end{split}

今度は右辺に二項係数が現れていますが、こちらも MZV の和公式と同様非常に美しい等式だと思います。

MZV の和公式の証明

Zagier の証明

MZVの和公式は の場合にあの Euler によって示されていたそうです！実は Euler 自身は一般の に対する MZV の研究を行っていないそうで、一般の に対する MZV の研究の重要性を広めた数学者に Hofman、Zagier たちが挙げられます。

それでは第一の証明として、その Zagier による証明を紹介します。それには MZV の多重積分（反復積分）表示が必要になります。

定義３（反復積分） とおく． に対し

\begin{split} I(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_k) := \int_{0 \lt t_1 \lt \cdots \lt t_k \lt 1} f_{\varepsilon_1} (t_1) \cdots f_{\varepsilon_k} (t_k) dt_1 \cdots dt_k \end{split}

と定める．この積分は のとき収束する．

定理４（MZV の反復積分表示）

\begin{split} \zeta(k_1, k_2, \cdots, k_r) = I(1, \{0\}^{k_1-1}, 1, \{0\}^{k_2-1}, \cdots, 1, \{0\}^{k_r-1}). \end{split}

ただし とは， を 個並べたものを意味する．

 この表示は、適宜 を使って から順番に項別積分していくことで簡単に示せます。

MZV の和公式の証明 by Zagier

定理１の左辺を と書くと反復積分表示から

\begin{split} S(k,r) = \sum_{\substack{\varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_{k - 1} \in \{0,1\} \\ \varepsilon_2 + \cdots + \varepsilon_{k - 1} = r - 1}} I(1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_{k - 1}, 0). \end{split}

よって は固定して に関する母関数を作ると

\begin{align} \sum_{0 \lt r \lt k} S(k,r) X^{r - 1} &= \sum_{\varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_{k - 1} \in \{0,1\}} I(1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_{k - 1}, 0) X^{\varepsilon_2 + \cdots + \varepsilon_{k - 1}} \\ &= \int_{0 \lt t_1 \lt \cdots \lt t_k \lt 1} \cfrac{1}{1-t_1} \left( \cfrac{1}{t_2} + \cfrac{X}{1-t_2} \right) \cdots \left( \cfrac{1}{t_{k - 1}} + \cfrac{X}{1-t_{k - 1}} \right) \cfrac{1}{t_k} dt_1 \cdots dt_k. \end{align}

いま被積分関数は に関して対称なので， の大小をどのように並び替えても（全部で 通り）積分の値は不変である．したがって

\begin{align} \sum_{0 \lt r \lt k} S(k,r) X^{r - 1} &= \cfrac{1}{(k-2)!} \int_{0 \lt t_1 \lt t_2, \cdots, t_{k - 1} \lt t_k \lt 1} \cfrac{1}{1-t_1} \left( \cfrac{1}{t_2} + \cfrac{X}{1-t_2} \right) \cdots \left( \cfrac{1}{t_{k - 1}} + \cfrac{X}{1-t_{k - 1}} \right) \cfrac{1}{t_k} dt_1 \cdots dt_k \\ &= \cfrac{1}{(k-2)!} \int_{0 \lt t_1 \lt t_k \lt 1} \left( \int_{t_1}^{t_k} \left( \cfrac{1}{t} + \cfrac{X}{1-t} \right) dt \right)^{k - 2}  \cfrac{dt_1}{1-t_1} \cfrac{dt_k}{t_k} \\ &= \cfrac{1}{(k-2)!} \int_{0 \lt t_1 \lt t_k \lt 1} \left( \log \cfrac{t_k}{t_1} + X \log \cfrac{1 - t_1}{1 - t_k} \right)^{k - 2}  \cfrac{dt_1}{1-t_1} \cfrac{dt_k}{t_k}. \end{align}

ここで変数変換

\begin{split} x = \log \cfrac{t_k}{t_1}, \qquad y = \log \cfrac{1 - t_1}{1 - t_k} \end{split}

を行うと， は から への全単射で，そのヤコビアンは

\begin{align} \cfrac{\partial (x,y)}{\partial (t_1, t_k)} &= \cfrac{t_1 - t_k}{t_1 (1 - t_1) t_k (1 - t_k)} \\ &= \cfrac{1 - e^{x+y}}{(1 - t_1) t_k} \end{align}

と計算される．よって両辺の の係数を比較すると

\begin{align} S(k,r) &= \cfrac{1}{(k-2)!}  \int_0^\infty \int_0^\infty \binom{k - 2}{r - 1} x^{k - r - 1} y^{r - 1} \cfrac{1}{e^{x+y} - 1} dx dy \\ &= \int_0^\infty \int_0^\infty \cfrac{x^{k - r - 1}}{(k - r - 1)!} \cfrac{y^{r - 1}}{(r-1)!} \cfrac{1}{e^{x+y} - 1} dx dy \end{align}

ここで

\begin{align} \cfrac{1}{e^{x+y} - 1} &= \cfrac{e^{-x}e^{-y}}{1 - e^{-x}e^{-y}} \\  &= \sum_{n=1}^\infty e^{-nx}e^{-ny} \end{align}

と

\begin{align} \int_0^\infty e^{-nx} x^{k - 1} dx &= \cfrac{\Gamma(n)}{n^k} = \cfrac{(n-1)!}{n^k} \end{align}

より

\begin{align} S(k,r) &= \int_0^\infty \int_0^\infty \sum_{n=1}^\infty \cfrac{e^{-nx} x^{k - r - 1}}{(k - r - 1)!} \cfrac{e^{-ny} y^{r - 1}}{(r-1)!} dx dy \\ &= \sum_{n=1}^\infty \cfrac{1}{n^{k - r}} \cfrac{1}{n^r} = \zeta(k). \end{align}

証明終

積分表示を使わない証明

Zagier の証明とおそらくほぼ同時期に Granville が MZV の級数表示しか用いない証明を与えています。その論文 [G] には次のような文章が書かれています。

The above proposition has been proved independently by Zagier [9], who writes of his proof, 'Although this proof is not very long, it seems too compicated compared with the elegance of the statement. It would be nice to find a more natural proof': Unfortunately much the same can be said of the proof that I have presented here.

The above proposition というのが MZV の和公式のことで、Zagier [9] は上で紹介した MZV の和公式の証明の書かれた文献（未出版）のことです。

この 'more natural proof' として Zagier の御眼鏡に適うかはわかりませんが、現在では和公式を含むより大きな関係式である大野関係式の connector method と呼ばれる大変美しい証明が関-山本 [SY] によって発見されており、その特殊ケースとして和公式も簡単に証明できてしまいます。

詳しくは関先生本人によるブログ記事

integers.hatenablog.comがとても面白いので一読をオススメします。ちなみに和公式の connector method による証明はブログの一番最後に説明されています。

 MZSV の和公式の証明

 MSZV の和公式は MZV の和公式からしたがう*1ことが和公式が証明される前から Hoffman [H] によって知られていました。その証明は純粋に組み合わせ論です。

「MZV の和公式 MZSV の和公式」の証明 by Hoffman

まず MZSV は MZV の非負整数倍の和で書けることに注意する．たとえば

\begin{align} \zeta^\star(1,2) &= \sum_{0 \le m \lt n} \cfrac{1}{m n^2} \\ &= \sum_{0 \lt m \lt n} \cfrac{1}{m n^2} + \sum_{0 \lt m = n} \cfrac{1}{m n^2} \\ &= \zeta(1,2) + \zeta(1+2). \end{align}

一般の場合も同様に におけるいくつかの「」を「」に置き換えた組の MZV をわたる和となる．

そこで和が となるような （）を固定するとき，定理２の左辺を MZV の和で書くと が何回現れるかを数える．

組 は 組 において 個の「」を「」に置き換えたものとみなすことができる．よってその 個の「」のうち 個を「」に置き換えて得られる組 の数，すなわち 回だけ が現れることになる．したがって

\begin{align} \sum_{\substack{k_1 + k_2 + \cdots + k_r = k \\ \forall i, ~ k_i \ge 1, ~ k_r \ge 2}} \zeta^\star (k_1, k_2, \cdots, k_r) &= \sum_{s=1}^r \binom{k-s-1}{r-s} \sum_{\substack{l_1 + l_2 + \cdots + l_s = k \\ \forall j, ~ l_j \ge 1, ~ l_s \ge 2}} \zeta(l_1, l_2, \cdots, l_s) \\ &= \sum_{s=1}^r \binom{k-s-1}{r-s} \zeta(k) \\ &= \binom{k - 1}{r-1} \zeta(k). \end{align}

証明終

参考文献

[AK] 荒川恒男, 金子昌信, 多重ゼータ値入門, 九州大学 MI レクチャーノート 23 (2010).

[G] A. Granville, A decomposition of Riemann’s zeta function, London Mathematical Society Lecture Note Series (1997): 95-102.

[H] M. E. Hoffman, Multiple harmonic series, Pacific Journal of Mathematics 152.2 (1992): 275-290.

[SY] S. Seki, S. Yamamoto, A new proof of the duality of multiple zeta values and its generalizations, International Journal of Number Theory 15.06 (2019): 1261-1265.

次の14日目の記事は、tsujimotterさんによる「類体論の基本不等式の証明」です。お楽しみに！

tsujimotter.hatenablog.com

*1:実際には同値らしいです。

隣接代数のゼータ関数

本記事は

adventar.org

の6日目の記事です。

この記事では隣接代数と呼ばれる組合せ論的に定義される代数と、そのゼータ関数について解説します。また以前の記事で紹介したゼータ多項式との関係を紹介します。

隣接代数とは

隣接代数は局所有限半順序集合に対して定義される代数です。ここで半順序集合 が局所有限とは、任意の に対して区間

\begin{split} [x, y] = \{ z \in P~|~x \le z \le y \} \end{split}

が有限集合であることを表します。

を局所有限半順序集合とします。このとき関数 であって のとき を満たすものの集合を考えます*1。そのような関数 に対し、その和 を で定めます。また と の畳み込み積（convolution product）を

\begin{split} (f \ast g) (x,y) = \sum_{x \le z \le y} f(x,z) g(z,y) \end{split}

で定めます。ここで が局所有限だったことを思い出すと、この右辺は常に有限和となり、畳み込み積は well-defined です。この和と積で定まる結合代数を の隣接代数（incidence algebra）と呼びます。以下では「 の」を省略して単に隣接代数と呼ぶことにします。

隣接代数のゼータ関数

本題の「隣接代数のゼータ関数」とはこの代数の特定の元のことです。ここでいよいよその定義を述べましょう。

定義１ 隣接代数のゼータ関数とは

\begin{split} \zeta(x, y) = \begin{cases} 1, & x \le y \\ 0, & \text{otherwise}
\end{cases} \end{split}

で定義される関数 である．

はい、たったこれだけです！「この関数のどこがゼータなんだ？」という声が聞こえてきそうですね。この関数が「ゼータ」と呼ばれる理由は一応ちゃんとあるのですが、それは次の節で述べることにして、その前に隣接代数のほかの大事な元について説明します。

定義２ 隣接代数のデルタ関数とは

\begin{split} \delta(x, y) = \begin{cases} 1, & x = y \\ 0, & x \neq y
\end{cases} \end{split}

で定義される関数 である．

デルタ関数は隣接代数の単位元です。実際任意の隣接代数の元 に対し

\begin{align} (\delta \ast f) (x,y) &= \sum_{x \le z \le y} \delta(x,z) f(z,y) \\ &= \delta(x,x) f(x,y) \\ &= f(x,y) \end{align}

から であり、また同様に もわかります。

定義３ 隣接代数のMöbius関数とは

\begin{split} \mu(x, y) = \begin{cases} 1, & x = y \\ -\sum_{x \le z \lt y} \mu(x,z), & x \lt y \\ 0, & \text{otherwise}
\end{cases} \end{split}

で帰納的に定義される関数 である．

このMöbius関数も整数論で出てくるMöbius関数とちゃんと関係があります（これも次の節で述べます）。次の重要な事実が成り立ちます。

定理４[R] Möbius関数はゼータ関数の逆元である．すなわち

\begin{split} \zeta \ast \mu = \mu \ast \zeta = \delta. \end{split}

定理の証明のため補題を用意します。定義３の式とよく似ているので違いにご注意ください。

補題５ のとき

\begin{split} \mu(x, y) = -\sum_{x \lt z \le y} \mu(z,y). \end{split}

証明 に関する帰納法を用いる．まず ，すなわち のとき

\begin{align} -\sum_{x \lt z \le y} \mu(z,y) &= -\mu(y,y) = -\mu(x,x) \\ &= -\sum_{x \le z \lt y} \mu(x,z) \\ &= \mu(x,y) \end{align}

なので補題は成り立つ．次に とし， に対し， ならば 補題が成り立つ，すなわち と仮定する．このとき

\begin{align} -\sum_{x \lt z \le y} \mu(z,y) &= - \sum_{x \lt z \lt y} \mu(z,y) - \mu(y,y) \\ &= \sum_{x \lt z \lt y} \sum_{z \le w \lt y} \mu(z,w) -\mu(x,x) \qquad \text{（定義３）} \\ &= \sum_{x \lt w \lt y} \sum_{x \lt z \le w} \mu(z,w) -\mu(x,x) \\ &= - \sum_{x \lt w \lt y} \mu(x,w) - \mu(x,x) \qquad \text{（帰}\text{納法の仮定）} \\ &= - \sum_{x \le w \lt y} \mu(x,w) \\ &= \mu(x,y)  \qquad \text{（定義３）} \end{align}

より に対しても補題が成立する．証明終

定理４の証明  のときは なので とする．このとき

\begin{align} (\zeta \ast \mu) (x,y) &= \sum_{x \le z \le y} \zeta(x,z)\mu(z,y) \\ &= \sum_{x \le z \le y} \mu(z,y) \end{align}

であり，同様に である．ゆえに定義３と補題５より のときも がしたがう．証明終

Riemannゼータ関数との関係

隣接代数のゼータ関数といわゆる「通常のゼータ」との関連を述べるために、正の自然数の集合に整除関係 によって順序を定めた半順序集合 を考えます。さらに の隣接代数の元 を、任意の に対し を満たすもののみに制限します。このような性質を満たす関数の集合は隣接代数の部分代数をなし、（ の）reduced incidence algebra と呼ばれます（被約隣接代数と訳すことにします）。被約隣接代数は を含んでいることがわかります。被約隣接代数の元 について、 の値は のみによって決まることに注意します。すなわち

\begin{split} f(a, b) = \begin{cases} f(1,n), & n := b/a \in D \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \end{split}

です。特に のときは

\begin{split} \mu(1, n) = \begin{cases} (-1)^r, & n = p_1 p_2 \cdots p_r ~ \text{（相異なる素}\text{数の積）} \\  0, & \text{otherwise} \end{cases} \end{split}

がわかり、これはまさしく整数論における Möbius 関数 そのものです。

ここで、新たにデルタ関数 を

\begin{split} \delta_n(a, b) = \begin{cases} 1, & b/a=n \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \end{split}

で定義すると

という級数展開が得られます。また二つのデルタ関数の畳み込み積は

となります。

さて、ここでようやく「通常のゼータ」として、Riemann ゼータ関数 を導入します。一般に、複素数列 に対して で定まる級数を Dirichlet 級数と呼びますが、ここでは級数の収束性を無視して形式的に取り扱います（これを形式的 Dirichlet 級数と呼びます）。形式的 Dirichlet 級数のなす集合に通常の方法で和と積を定義することで可換環の構造を定めます。このとき式 (1),(2) より次が成り立ちます。

定理６ に形式的 Dirichlet 級数 を対応させる写像 は， の被約隣接代数から形式的 Dirichlet 級数環への同型である．

証明  と式 (2) より が準同型であることがわかり， が全単射であることは式 (1) よりしたがう．証明終

説明にだいぶ文章量を費やしてしまいましたが、この同型対応 で Riemann ゼータ関数に対応するのが の隣接代数のゼータ関数というわけでした。

定理４・定理６を用いれば、次の等式が直ちにしたがいます。

定理７ \begin{split} \cfrac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n\ge1} \cfrac{\mu(n)}{n^s}. \end{split}

ゼータ多項式

最後に

oddie.hatenablog.com

で紹介したゼータ多項式（zeta polynomial）との関連について述べます。手短にゼータ多項式の定義を復習すると、 を有限半順序とするとき における長さ の鎖 の数は の多項式となり、これを と書いて のゼータ多項式と呼びます。ゼータ多項式と隣接代数のゼータ関数は次の関係があります。

定理８ 有限半順序集合 のゼータ多項式は の隣接代数のゼータ関数 により

\begin{split} Z_P(n) = \sum_{x,y \in P} \zeta^n(x,y) \end{split}

と表せる．

証明 \begin{align} \zeta^n(x,y) &= \sum_{x \le x_1 \le \cdots \le x_{n-1} \le y} \zeta(x,x_1) \cdots \zeta(x_{n-1},y) \\ &= \sum_{x \le x_1 \le \cdots \le x_{n-1} \le y} 1 \\ &= \# \{x = x_0 \le x_1 \le \cdots \le x_n = y\} \end{align}

より

\begin{align} \sum_{x,y \in P} \zeta^n(x,y) &= \# \{x_0 \le x_1 \le \cdots \le x_n\} \\ &= Z_P(n). \end{align}

証明終

参考文献

[R] Rota, Gian-Carlo. "On the foundations of combinatorial theory I. Theory of Möbius functions." Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 2.4 (1964): 340-368.

[S] Stanley, Richard P. "Enumerative Combinatorics Volume 1 second edition." Cambridge studies in advanced mathematics (2011).

・Wikipedia記事

en.wikipedia.org

・nLab記事

ncatlab.org

ncatlab.org

*1:実際は でなくても任意の可換環上で定義できます。

q-二項係数について

-二項係数はある非可換な代数の二項展開の係数として解釈できることを示し、これを用いて等式

pic.twitter.com/johyeVxEKo

— 級数bot (@infseriesbot) 2020年10月3日

を証明します。

-類似とは

-類似については以前の記事

oddie.hatenablog.com

にも書きましたが、改めて簡単に復習します。

定義１ 整数 に対し

\begin{split} [n]_q =  \cfrac{1-q^n}{1-q}, \qquad [n]_q! = \prod_{i=1}^n [i]_q, \qquad \binom{n}{k}_q = \cfrac{[n]_q!}{[k]_q![n-k]_q!} \end{split}

と定め，それぞれを -数，-階乗，-二項係数と呼ぶ．更に または の場合にも と値を定めておく．

これらは極限 を取ると

\begin{split} \lim_{q\to1}[n]_q = n, \qquad \lim_{q\to1}[n]_q! = n!, \qquad \lim_{q\to1}\binom{n}{k}_q = \binom{n}{k} \end{split}

を満たしています。このように極限 を取ると○○に一致するものを○○の -類似といい、-○○と呼んだりします。

-二項係数再訪

上に載せた記事では、-二項係数の有限体 上のベクトル空間の数え上げによる解釈を与えていました：

定理２ を 上の 次元ベクトル空間とするとき， 次元部分ベクトル空間 の数は 個である．

今回の記事では -二項係数の別の解釈を考えます。

通常の代数では積は可換、すなわち という状況を考えることが多いと思います。ここで新たな変数 を加えて

\begin{split} yx=qxy \end{split}

という関係式を考えてみます（ただし と ， と それぞれの積は可換とします）。 このとき ならば なので積は可換ですが、そうでなければ なので積は非可換となります。

以下ではこの で生成される（非可換）環*1を考えます。

の場合、すなわち と が可換な場合に の展開式を二項係数を使って表したものが高校で習う二項定理であったことを思い出しましょう。そこで一般の に対して の展開式を求めてみます。

まず -二項係数に関する次の命題を用意します（パスカルの三角形の -類似！）：

命題３ は漸化式

\begin{split} \binom{n}{k}_q = q^k \binom{n-1}{k}_q + \binom{n-1}{k - 1}_q \end{split}

（）を満たす．

証明 の場合は明らか． とする．

\begin{align} q^k \binom{n - 1}{k}_q + \binom{n - 1}{k - 1}_q &= q^k \cfrac{[n - 1]_q!}{[k]_q![n-k - 1]_q!} + \cfrac{[n-1]_q!}{[k - 1]_q![n-k]_q!}  \\ &= \left(q^k [n-k]_q + [k]_q \right) \cfrac{[n-1]_q!}{[k]_q![n-k]_q!} \\ &= [n]_q \cfrac{[n-1]_q!}{[k]_q![n-k]_q!} \\ &=\binom{n}{k}_q. \end{align}

証明終

この命題を用いると次の結果が証明できます！

定理４ 関係式 のもとで

\begin{split} (x + y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}_q x^{n-k} y^k. \end{split}

証明 に関する帰納法を用いる． のときは より成り立つ．

で等式が成り立つと仮定すると

\begin{align} (x + y)^n &= (x + y)^{n-1} (x + y) \\ &= \left( \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}_q x^{n-k - 1} y^k \right) (x + y)  \\ &= \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}_q x^{n-k - 1} y^k x+ \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}_q x^{n-k - 1} y^{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^n\binom{n-1}{k}_q q^k x^{n-k} y^k + \sum_{k=0}^n \binom{n-1}{k - 1}_q x^{n-k} y^k \\ &= \sum_{k=0}^n \left( \binom{n-1}{k}_q q^k + \binom{n-1}{k - 1}_q \right) x^{n-k} y^k. \end{align}

ここで命題３よりこれは

\begin{split} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}_q x^{n-k} y^k\end{split}

に等しいから での成立が示された．証明終

定理４で とすると二項定理に一致するので、定理４は二項定理のある種の非可換化だと思えます。

ツイートの等式の証明

上のツイートの等式の再掲：

定理５ \begin{split} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}_q \binom{m}{k}_q q^{k^2} = \binom{n+m}{n}_q. \end{split}

証明 の両辺の の係数を比較することで証明する．定理４より の の係数は である．一方 を展開して の項が現れるのは， の展開における の項と， の展開における の項の積をとったとき（）に限られる．ここで ， の展開における の係数は で， の展開における の係数は であり，また

\begin{align} (x^{m-k} y^k) (x^k y^{n-k}) &= x^{m-k} (y^k x) x^{k - 1} y^{n-k} \\ &= x^{m-k} (q^k x y^k) x^{k - 1} y^{n-k} \\ &= q^k x^{m-k+1} y^k x^{k - 1} y^{n-k} \\ &= q^k x^{m-k+1} (y^k x) x^{k - 2} y^{n-k} \\ &= q^k x^{m-k+1} (q^k x y^k) x^{k - 2} y^{n-k} \\ &= q^{2k} x^{m-k+2} y^k x^{k-2} y^{n-k} \\ &=\cdots \\ &= q^{k^2} x^m y^n \end{align}

が成り立つので， の展開における の係数は 

\begin{split} \sum_{k=0}^n \binom{m}{k}_q \binom{n}{k}_q q^{k^2} \end{split}

と求めることができる．証明終

*1:厳密に定義すると，二変数非可換多項式環 上の多項式環 を で生成される両側イデアルで割ることにより構成できる。

第二種 Stirling 数の一般化

第二種 Stirling 数の一般化である associated Stirling number of the second kind についてのメモ。

本記事を通し と表します。

第二種 Stirling 数

まず第二種 Stirling 数とは何なのかを簡単に復習します。

定義１  の空でない 個の部分集合への分割の個数を と表し，第二種 Stirling 数（Stirling number of the second kind）という．

第二種 Stirling 数があるなら当然第一種 Stirling 数もあるわけですが、本記事では触れません。

命題２ は漸化式

\begin{split} S(n + 1, k) = k S(n, k) + S(n, k - 1) \end{split}

を満たす．

定理３ \begin{split} S(n, k) = \frac{1}{k!} \sum_{i = 0}^k (-1)^i \binom{k}{i} (k - i)^n. \end{split}

 Associated Stirling numbers of the second kind

以下では とします。

定義４  の 個の部分集合への分割で，各部分集合が少なくとも 元を持つものの個数を と表し，-associated Stirling number of the second kind という．

のとき なので、これは第二種 Stirling 数の一般化になっています。

命題５ は漸化式

\begin{split} S_r (n + 1, k) = k S_r (n, k) + \binom{n}{r-1} S_r (n - r + 1, k - 1) \end{split}

を満たす．

証明 を集合の分割で を満たすものとする． となる をとっておく．

 i) のとき

， のとき とおけば は の分割で を満たすもの． の可能性が 通りなので，このような の数は 個．

 ii) のとき

の可能性は 通り．また は 元集合の分割．よってこのような の数は 個．

(i),(ii) より等式が示された．証明終

次の補題は定義から直ちに従います（もしよければ証明を考えてみてください）。

補題６ \begin{split} S_r (n, k) = \frac{1}{k!} \sum_{ \substack{i_1, \cdots, i_k \geq r \\ i_1 + \cdots + i_k =n} } \binom{n}{i_1, \cdots, i_k}. \end{split}

この補題から の母関数が求まります。

定理７ の指数型母関数を

\begin{split} F_r (t, u) = \sum_{n,k \geq 0} S_r (n, k) u^k \frac{t^n}{n!} \end{split}

とおくと

\begin{split} F_r (t, u) = \exp \left( u \sum_{i \geq r} \frac{t^i}{i!} \right). \end{split}

証明

\begin{align} \exp \left( u \sum_{i \geq r} \frac{t^i}{i!} \right) &= \sum_{k \geq 0} \frac{1}{k!} \left( u \sum_{i \geq r} \frac{t^i}{i!} \right)^k \\ &= \sum_{k \geq 0} \frac{1}{k!} u^k \sum_{n \geq 0} t^n \sum_{ \substack{i_1, \cdots, i_k \geq r \\ i_1 + \cdots + i_k =n} } \frac{1}{i_1! \cdots i_k!}\\ &= \sum_{n,k \geq 0} \left( \frac{1}{k!} \sum_{ \substack{i_1, \cdots, i_k \geq r \\ i_1 + \cdots + i_k =n} } \binom{n}{i_1, \cdots, i_k} \right) u^k \frac{t^n}{n!}\\  &= F_r(t,u). \end{align}

証明終

定理８ \begin{split} S_{r+1} (n, k) = \sum_{i=0}^k (-1)^i \frac{1}{i!} \binom{n}{r, \cdots, r, n-ri} S_r(n-ri, k-i). \end{split}

証明 定理７から ．

また

\begin{align} \exp \left(-u \frac{t^r}{r!} \right) F_r(t,u) &= \sum_{i \geq 0} \frac{1}{i!} \left( -u \frac{t^r}{r!} \right)^i \sum_{n,k \geq 0} S_r (n, k) u^k \frac{t^n}{n!}\\ &= \sum_{i,n,k \geq 0}  (-1)^i \frac{1}{i!} \frac{1}{(r!)^i} S_r(n,k) u^{i+k} \frac{t^{ri+n}}{n!}\\ &= \sum_{n,k \geq 0} \left( \sum_{i=0}^k (-1)^i \frac{1}{i!} \binom{n}{r, \cdots, r, n-ri} S_r(n-ri, k-i) \right) u^k \frac{t^n}{n!}. \end{align}

ここで二行目から三行目への変形では， を ， を に置き換えた．証明終

 同様に から次も成り立ちます。

定理９ \begin{split} S_r (n, k) = \sum_{i=0}^k \frac{1}{i!} \binom{n}{r, \cdots, r, n-ri} S_{r+1} (n-ri, k-i). \end{split}

Multipartite P-partition の q-多重ガンマ関数への応用

3月20日の講演の発表資料を公開します。

drive.google.com

この原稿は、たけのこ赤軍さんのブログ記事

http://o-v-e-r-h-e-a-t.hatenablog.com/entry/2018/10/07/235755

o-v-e-r-h-e-a-t.hatenablog.com

の影響を受けて、-多重ガンマ関数の展開

に現れる多項式 を求めたものです。

まだ一部書きかけであることにご注意ください。

誤植等ございましたら、ご連絡頂けますと幸いです。

4/13追記：PDFにおいて、４節の定理とそれに関係する命題等の証明を完成させました。

4/18追記：この原稿を書くに至った経緯を追加しました。